测量不确定度评定与表示

JJF1059—1999

    一切测量结果都不可避免地具有不确定度。《测量不确定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement以下简称GUM），由标准化组织（ISO）计量技术顾问组第三工作组（ISO／TAG4／WG3）起草，于1993年以7个组织的名义联合发布，这7个组织是标准化组织（ISO）、电工委员会（IEC）、*（BIPM）、法制计量组织（OIML）、理论化学与应用化学联合会（IUPAC）、理论物理与应用物理联合会（IUPAP）、临床化学联合会（IFCC）。GUM采用当前通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。在我国实施GUM，不仅是不同学科之间交往的需要，也是市场经济发展的需要。本规范给出的的方法从易于理解、便于操作、利于过渡出发，原则上等同采用GUM的基本内容，对科学研究、工程技术及商贸中大量存在的测量结果的处理和表示，均具有适用性。本规范的目的是：

    ——提出如何以完整的信息评定与表示测量不确定度；

    ——提供对测量结果进行比较的基础。

    评定与表示测量不确定度的方法满足以下要求：

    a）适用于各种测量和测量中所用到的各种输入数据，即具有普遍适用性。

    b）在本方法中表示不确定度的量应该：

    ——能从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的；

    ——当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，即它们是可传播的。

    c）在诸如工业、商业及与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较高概率的置信区间，本方法应能方便地给出这样的区间及相应的置信概率。

    本规范给出了常见情况下，评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤，其中的举例，旨在对原则和方法作详细说明，以便于进一步理解和有助于实际应用。附录中所用的基本符号，取自GUM及有关的ISO、IEC标准。

1   范围

1.1   本规范所规定的测量中评定与表示不确定度的通用规则，适用于各种准确度等级的测量领域，例如：

    a）建立国家计量基准、计量标准及其比对；

    b）标准物质、标准参考数据；

    c）测量方法、检定规程、检定系统、校准规范等；

    d）科学研究及工程领域的测量；

    e）计量认证、计量确认、质量认证以及实验室认可；

    f）测量仪器的校准和检定；

    g）生产过程的质量保证以及产品的检验和测试；

    h）贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量。

1.2   本规范主要涉及有明确定义的，并可用*值表征的被测量估计值的不确定度。至于被测量呈现为一系列值的分布或取决于一个或多个参量（例如，以时间为参变量），则对被测量的描述是一组量，应给出其分布情况及其相互关系。

2   基本术语及其概念

    本规范中所使用的术语及其定义与《JJF1001——1998通用计量术语及定义》一致，但其中楷体字的内容为本规范所增加。

2.1   ［可测量的］*量［measurable］quantity

    *方括号［   ］中的字一般可省略，下同。

    现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。

    注：

    1   术语“量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质的量浓度；特定量如某根棒的长度，某根导线的电阻，某份酒样中乙醇的浓度。

    2   可相互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称之为同类量，如功、热、能；厚度、周长、波长。

    3   量的符号参照《GB3100～3102—1993量和单位》。

2.2   量值   value of a quantity

    一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。

    例：5.34m或534cm，15kg，10s,－40℃。

    注：对于不能由一个数乘以测量单位所表示的量，可参照约定参考标尺，或参照测量程序，或两者都参照的方式表示。

2.3   ［量的］真值   true value［of a quantity］

    与给定的特定量定义一致的值。

    注：

    1   量的真值只有通过完善的测量才有可能获得。

    2   真值按其本性是不确定的。

    3   与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。

    4   GUM用“被测量之值”代替“真值”。在不致引起混淆时，推荐这一用法。

2.4   ［量的］约定真值   conventional true value［of a quantity］

    对于给定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。

    例：a）在给定地点，取由参考标准复现而赋予该量的值作为约定真值。

        b）常数委员会（CODATA）1986年推荐的阿伏加德罗常数值6.0221367×10²³mol^－1。

    注：

    1   约定真值有时称为值、*估计值、约定值或参考值。参考值在这种意义上使用不应与参考条件中的参考值混淆。

    2   常用某量的多次测量结果来确定约定真值。

2.5   被测量   measurand

    作为测量对象的特定量。

    例：给定的水样品在20℃时的蒸汽压力。

    注：

    1   对被测量的详细描述，可要求包括对其他有关量（如时间、温度和压力）作出说明。

    2   实践中，被测量应根据所需准确度予以完整定义，以便对所有的测量，其值是单一的。例如：一根标称值为1m长的钢棒其长度需测至微米级准确度，其技术说明应包括给定温度和压力。但若只需毫米级准确度，则无需规定温度、压力和其他影响量的值。

2.6   测量结果   result of a measurement

    由测量所得到的赋予被测量的值。

    注：

    1   在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为若干个值的平均值。

    2   在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。

    3   测量结果仅是被测量之值的估计。

    4   很多情况下，测量结果是在重复观测的情况下确定的。

    5   在测量结果的完整表述中，还应给出自由度。

2.7   测量准确度   accuracy of measurement

    测量结果与被测量的真值之间的一致程度。

    注：

    1   不要用术语“精密度”代替“准确度”。

    2   准确度是一个定性概念。例如：可以说准确度高低、准确度为0.25级、准确度为3等及准确度符合××标准；尽量不使用如下表示：准确度为0.25%、16mg、≤16mg及±16mg。

2.8   ［测量结果的］重复性   repeatability［of results of measurements］

    在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。

    注：

    1   这些条件称为“重复性条件”。

    2   重复性条件包括：

    相同的测量程序；

    相同的观测者；

    在相同的条件下使用相同的测量仪器；

    相同地点；

    在短时间内重复测量。

    3   重复性可以用测量结果的分散性定量地表示。

    4   重复性用在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差（称为重复性标准差）s_r定量地给出。

    5   重复观测中的变动性，是由于所有影响结果的影响量不能*保持恒定而引起的。

2.9   ［测量结果的］复现性   reproducibility［of results of measurements］

    在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。

    注：

    1   在给出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况。

    2   可改变的条件包括：

    测量原理；

    测量方法；

    观测者；

    测量仪器；

    参考测量标准；

    地点；

    使用条件；

    时间。

    3   复现性可用测量结果的分散性定量地表示。

    4   测量结果在这里通常理解为已修正结果。

    5   在复现性条件下，复现性用重复观测结果的实验标准差（称为复现性标准差）s_Ｒ定量地给出。

    6   又称为“再现性”。

2.10   实验标准［偏］差   experimental standard deviation

    对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s可按下式算出：

                                          （1）

式中q_k是第k次测量结果； 是n次测量的算术平均值。

    注：

    1   当将n个测量结果视作分布的样本时， 是该分布的期望值 _q的无偏估计，实验方差s^２（q_k）是这一分布的方差 ^２的无偏估计。

    2   s（q_k）／ 为 的分布的标准差估计，称为平均值的实验标准差。

    3   将平均值的实验标准差称为平均值的标准误差是不正确的。

    4   s（q_k）与s（q_k）／n的自由度相同，均为n－1。

    5   式（1）称为贝塞尔公式。

2.11   ［测量］不确定度   uncertainty［of a measurement］

    表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相的参数。

    注：

    1   此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。

    2   测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算， 并用实验标准差表征。

另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。

    3   测量结果应理解为被测量之值的*估计，全部不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应

引起的（如，与修正值和参考测量标准有关的）分量。

    4   不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。

    5   不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度意为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的

不确定度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度时，要适当采用一个形容词，比如合成不确定度或扩展

不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系统效应导致

的不确定度来说明。

    6   《JJF1001—1998通用计量术语及定义》给出的上述不确定度定义是可操作的定义，即着眼于测量结果

及其分散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用过的定义并不矛盾：

    ——由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。

    ——表征被测量的真值所处范围的评定。

    不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同，表达形式也一样。

    7   本术语中的方括弧系本规范按GUM所加。

2.12   标准不确定度   standard uncertainty

    以标准差表示的测量不确定度。

2.13   不确定度的A类评定   type A evaluation of uncertainty

    用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。

    注：不确定度的A类评定，有时又称为A类不确定度评定。

2.14   不确定度的B类评定   type B evaluation of uncertainty

    用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。

    注：不确定度的B类评定，有时又称为B类不确定度评定。

2.15   合成标准不确定度   combined standard uncertainty

    当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。

    注：它是测量结果标准差的估计值。

2.16   扩展不确定度   expanded uncertainty

    确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。

    注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。

2.17   包含因子   coverage factor

    为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。

    注：

    1   包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。

    2   包含因子有时也称覆盖因子。

    3   根据其含义可分为两种：k＝U／u_c;k_p＝U_p／u_c。

    4   一般在2～3范围内。

    5   下脚标p为置信概率，即置信区间所需要的概率。

2.18   自由度   degrees of freedom

    在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。

    注：

    1   在重复性条件下，对被测量作n次独立测量时所得的样本方差 其中残差为

。因此，和的项数即为残差的个数n，而 ,是一个约束条件，即限制

数为1。由此可得自由度v＝n－1。

    2   当测量所得n组数据用t个未知数按zui小二乘法确定经验模型时，自由度v＝n－t。

    3   自由度反映相应实验标准差的可靠程度，用于在评定扩展不确定度U_p时求得包含因子kp。合成标准不确

定度u_c（y）的自由度，称为有效自由度ν_eff，当y接近正态分布时，包含因子等于t分布临界值，即k_p＝t_p（v_eff）。

2.19   置信概率   confidence level;level of confidence

      与置信区间或统计包含区间有关的概率值（1－α）。

    注：

    1   符号为p,p＝1－α。

    2   经常用百分数表示。

    3   又称置信水平，置信系数，置信水准。

2.20   ［测量］误差   error［of measurement］

    测量结果减去被测量的真值。

    注：

    1   由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。

    2   当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的误差。注意不要与误差的值相混淆，后者为误差的模。

       3   误差之值只取一个符号，非正即负。

    4   误差与不确定度是*不同的两个概念，不应混淆或误用。对同一被测量不论其测量程序、条件如何，相同测量结果的误差相同；而在重复性条件下，则不同结果可有相同的不确定度。

    5   测量仪器的特性可以用［示值］误差、zui大允许误差等术语描述。

    6   随机误差：测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。由于实际上只能进行有限次测量，因而只能得出这一测量结果中随机误差的估计值。随机误差大抵是由影响量的随机时空变化所引起，这种变化带来的影响称为随机效应，它们导致重复观测中的分散性。

    7   系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。由于系统误差及其原因不能*获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度的补偿。当测量结果以代数和与修正值相加之后，其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零。来源于影响量的已识别的效应称为系统效应。

2.21   修正值   correction

    用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。

    注：

    1   修正值等于负的系统误差。

    2   由于系统误差不能*获知，因此这种补偿并不*。

    3   为补偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。

    4   已修正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能仍十分接近被测量的真值 （即误差甚小），因此，不应把测量不确定度与已修正结果的误差相混淆。

2.22   相关系数   correlation coefficient

    相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平方根，因此

其估计值

    相关系数是一个纯数，－1≤ ≤+1或－1≤r（y_i,z_i）≤+1

    注：

    1   和r是－1和+1范围内的纯数，而协方差通常具有不方便的量纲。因此，通常相关系数比协方差更有

用。

    2   对于多变量概率分布，通常给出相关系数矩阵，而不是协方差矩阵。由于 （y,y）＝1和r（y_i,y_i）＝1，

所以该矩阵的对角线元素为1。

    3   如果输入估计值x_i和x_j是相关的，并且x_i变化 _i，使x_j产生变化 _j，则与x_i和x_j相应的相关系数由下

式近似估计

r（x_i,x_j）≈u（x_i） _j／u（x_j） _i

    这个关系式可以用作基本的相关系数经验估计公式。如果两者的相关系数已知，那么此式也可用于计算由一个输入估计值变化而引起另一个变化的近似值。

2.23   独立   independence

    如果两个随机变量的联合概率分布是它们每个概率分布的乘积，那么这两个随机变量是统计独立的。

    注：如果两个随机变量是独立的，那么它们的协方差和相关系数等于零，但反之不一定成立。

3   产生测量不确定度的原因和测量模型化

3.1   测量过程中的随机效应及系统效应均会导致测量不确定度，数据处理中的修约也会导致不确定度。这些从产生不确定度的原因上所作的分类，与从评定方法上所作的A、B分类之间不存在任何。

    A、B分类旨在指出评定的方法不同，只是为了便于理解和讨论，并不意味着两类分量之间存在本质上的区别。它们都基于概率分布，并都用方差或标准差定量表示，为方便起见而称为A类标准不确定度和B类标准不确定度。表征A类标准不确定度分量的估计方差u^２，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值s^２。标准不确定度u为u^２的正平方根值，故u＝s。Ｂ类标准不确定度分量的方差估计值u^２，则是根据有关信息来评定的，即通过一个假定的概率密度函数得到的，此函数基于事件发生的可信程度，即主观概率或先验概率。

3.2   测量结果的不确定度反映了对被测量之值的认识不足，借助于已查明的系统效应对测量结果进行修正后，所得到的只是被测量的估计值，而修正值的不确定度以及随机效应导致的不确定度依然存在。

3.3   测量中可能导致不确定度的来源一般有：

    a）被测量的定义不完整；

    b）复现被测量的测量方法不理想；

    c）取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；

    d）对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；

    e）对模拟式仪器的读数存在人为偏移；

    f）测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限性；

    g）测量标准或标准物质的不确定度；

    h）引用的数据或其他参量的不确定度；

    i）测量方法和测量程序的近似和假设；

    j）在相同条件下被测量在重复观测中的变化。

    上述不确定度的来源可能相关，例如，第j项可能与前面各项有关。

    对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量结果的误差。

3.4   测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型可能不完善，所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能多的观测数据来评定不确定度。在可能情况下，应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。核查标准和控制图可以表明测量过程是否处于统计控制状态之中，有助于数学模型的建立和测量不确定度的评定。

3.5   在修正值的不确定度较小且对合成标准不确定度的贡献可忽略不计的情况下，可不予考虑。如果修正值本身与合成标准不确定度比起来也很小时，修正值可不加到测量结果之中。

3.6   在实际工作中，尤其是在法制计量领域中，被测量通过与相应的测量标准相比较获得其估计值。对于测量所要求的准确度来说，测量标准的不确定度及比较过程导致的不确定度，通常可以忽略不计。例如，用校准过的标准砝码检定商用台案秤。

3.7   当某些被测量是通过与物理常量相比较得出其估计值时，按常数或常量来报告测量结果，可能比用测量单位来报告测量结果，有较小的不确定度。例如，一台高质量的齐纳电压标准（Zener voltage standard）通过与约瑟夫逊效应电压基准相比较而被校准，该基准是以计量委员会（CIPM）向推荐的约瑟夫逊常量K_１－90的约定值为基础的，当按约定的K_1－90作为单位来报告测量结果时，齐纳电压标准的已校准电压Vs的相对合成标准不确定度u_crel（V_s）＝u_c（V_s）／V_s＝2×10^－8。然而，当V_s按电压的单位伏特给出时，u_crel（V_s）＝4×10^－7，因为K_１－90用Hz／V表示其量值时引入了不确定度。

3.8   在测量不确定度评定中，也必须剔除测量结果中的异常值（通常由于读取、记录或分析数据的失误所导致）。异常值的剔除应通过对数据的适当检验进行（例如，按《GB 4883—1985正态分布中异常值的判断和处理》）。

3.9   测量中，被测量Y（即输出量）由N个其他量X₁，X₂，…，X_N，通过函数关系f来确定，即：

Y＝f（X₁,X₂,…,X_Ｎ）                                            （2）

      式中，Ｘ_i是对Y的测量结果y产生影响的影响量（即输入量）。式（2）称为测量模型或数学模型。

    如被测量Y的估计值为y，输入量X_i的估计值为x_i,则有：

y＝f（x₁,x₂,…，x_N）                                            （3）

      式（2）中大写字母表示的量的符号，在本规范中既代表可测的量，也代表随机变量。当叙述为X_i具有某概率分布时，这个符号的含义就是后者。

    在一列观测值中，第k个X_i的观测值用X_ik表示。如电阻器的电阻符号为R，则其观测列中的第k次值表示为R_k。

    又如，一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t_０时的电阻为R₀，电阻器的温度系数为α，则电阻器的损耗功率P（被测量）取决于V，R₀，α和t，即：

                        （4）

    测量损耗功率P的其他方法可能有不同的数学模型。数学模型与测量程序有关。

3.10   输出量Y的输入量X_１,X₂，…X_N本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数f不能明确地表示出来。f也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出（数值方程为物理方程的一种，用于表示在给定测量单位的条件下，数值之间的关系，而无物理量之间的关系）。因此，如果数据表明f没有能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在f中增加输入量，即增加影响量。例如，在3.9的例中，再增加以下输入量：电阻器上已知的温度非均匀分布、电阻温度系数的非线性关系、电阻R与大气压力p_amb的关系等。

    式（2）也可能简单到Y＝X₁－X₂,甚至Y＝X。

3.11   式（3）中，被测量Y的*估计值y在通过输入量X₁，X₂，…，X_N的估计值x_１，x₂…,x_N得出时，可有以下两种方法：

    a）

                             （5）

式中   y是取Y的n次独立观测值y_k的算术平均值，其每个观测值y_k的不确定度相同，且每个y_k都是根据同时获得的N个输入量X_i的一组完整的观测值求得的。

    b）

                                       （6）

      式中， ，它是独立观测值x_i,k的算术平均值。这一方法的实质是先求X_i的*估计值x_i，再通过函数关系式得出y。

    以上两种方法，当f是输入量X_i的线性函数时，它们的结果相同。但当f是X_i的非线性函数时，（5）式的计算方法较为*。

3.12   输入量X₁，X₂，…，X_N可以是：

    ——由当前直接测定的量。它们的值与不确定度可得自单一观测、重复观测、依据经验对信息的估计，并可包含测量仪器读数修正值，以及对周围温度、大气压、湿度等影响的修正值。

    ——由外部来源引入的量。如已校准的测量标准、有证标准物质、由手册所得的参考数据等。

    x_i的不确定度是y的不确定度的来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、测量环境、测量人员、测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重复，特别应考虑对结果影响大的不确定度来源。遗漏会使y的不确定度过小，重复会使y的不确定度过大。

    评定y的不确定度之前，为确定Y的*值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。

    y的不确定度将取决于x_i的不确定度，为此首先应评定x_i的标准不确定度u（x_i）。评定方法可归纳为A、B两类。

4   标准不确定度的A类评定

4.1   基本方法

      在重复性条件或复现性条件下得出n个观测结果x_k，随机变量x的期望值 _x的*估计是n次独立观测结果的算术平均值 （ 又称为样本平均值）：

                                                 （7）

由于影响量的随机变化或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值x_k不一定相同，它与 之差称为残差v，

v_k＝x_k－                                                  （8）

  观测值的实验方差按式（1）为：

                                        （9）

    式中，s^２（x_k）是x_k的概率分布的总体方差 _２的无偏估计，其正平方根s（x_k）表征了xk的分散性。确切地说，表征了它们在x上下的分散性。x（x_k）称为样本标准差或实验标准差，表示实验测量列中任一次测量结果的标准差。通常以独立观测列的算术平均值作为测量结果，测量结果的标准不确定度为s（x）＝s（x_k）／ ＝u（ ）。

    观测次数n应充分多，以使x成为x的期望值 _x的可靠估计值，并使s^２（x_k）成为 ^２的可靠估计值；从而也使u（x_k）更为可靠。

    尽管方差s^２（x）在不确定度评定与表示中是更为基本的量，但由于标准差s（x）与x有相同量纲，较为直观和便于理解，故使用得更为广泛。

4.2   对一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该统计控制下，测量过程的合并样本标准差s_p表示为：

                                              （10）

    式中，s_i为每次核查时的样本标准差；k为核查次数。在相同情况下，由该测量过程对被测量X进行n次重复观测，以算术平均值 作为测量结果，则该结果的标准不确定度为：

u（ ）＝s_p／                                             （11）

4.3   在规范化的常规测量中，如对被测量x_i都进行了重复性条件下或复现性条件下的n次独立观测，有x_i1,x_i2,…,x_in,其平均值为 _i,如有m组这样的被测量，按下式可得 为：

                                （12）

如这m组已分别按其重复次数算出了各次实验标准差s_i，则s_p可按下式给出：

                                       （13）

    式（12）和（13）给出的s_p，自由度为m（n－1）。

    如对m个被测量X_i所重复的次数不*相同，设各为n_i，而X_i的标准差s（x_i）的自由度为v_i＝n_i－１，通过m个s_i与v_i可得 为：

                                     （14）

    自由度为 。

4.4   在重复性条件或复现性条件下，对X_i进行n次独立观测，计算结果中的zui大值与zui小值之差R（称为极差），在X_i可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果x_i的实验标准差s（x_i）可按下式近似地评定：

                                              （15）

      式（15）中系数C及自由度v如下表：

表 1   极差系数C及自由度v

    一般在测量次数较小时采用该法。

4.5   当输入量X_i的估计值x_i是由实验数据用zui小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度，可用有关的统计程序评定。

4.6   在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比用其他评定方法所得到的不确定度更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。此外，这一测量程序中的重复观测值，应相互独立。例如：

    a）被测量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又是测量程序的一部分，则观测值不具有独立性，必须把不同样本间可能存在的随机差异导致的不确定度分量考虑进去；

    b）测量仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分；

    c）通过直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向观测；

    d）当使用测量仪器的同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这一测量段的误差，而降低了测量结果间的相互独立性；

    e）在一个气压表上重复多次读取示值，把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态再进行读数，因为即使大气压力并无变化，还可能存在示值和读数的方差。

4.7   如果被测量估计值x_i在多次观测中存在相关的随机效应，例如，都与时间有关，则按本规范计算是不妥的。在这种情况下，应采用专门为相关的随机变量测量列的数据处理设计的统计方法来分析观测值。例如，在晶振频率测量中，由于噪声导致理论方差发散，从而需采用阿伦方差。

5   标准不确定度的B类评定

5.1   获得B类标准不确定度的信息来源一般有：

    a）以前的观测数据；

    b）对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；

    c）生产部门提供的技术说明文件；

    d）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等；

    e）手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；

    f）规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。

    用这类方法得到的估计方差u^２（x_i），可简称为B类方差。

5.2   如估计值x_i来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出了其不确定度U（x_i）是标准差s（x_i）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u（x_i）可取U（x_i）／k,而估计方差u^２（x_i）为其平方。

    例：校准证书上指出标称值为1kg的砝码质量m＝1000.00032g，并说明按包含因子k＝3给出的扩展不确定度U＝0.24mg。则该砝码的标准不确定度为u（m）＝0.24mg／3＝80 g，估计方差为u^２（m）＝（80 g）^２＝6.4×10^－9g^２。相应的相对标准不确定度为：

u_rel（m）＝u（m）／m＝80×10^－9

5.3   如x_i的扩展不确定度不是按标准差s（x_i）的k倍给出，而是给出了置信概率p为90%、95%或99%的置信区间的半宽U₉₀、U₉₅或U₉₉，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u（x_i）。对应于上述三种置信概率的包含因子k_p分别为1.64、1.96或2.58，更为完整的关系如表2：

表 2   正态分布情况下置信概率p与包含因子k_p间的关系

    例：校准证书上给出标称值为10Ω的标准电阻器的电阻R_s在23℃时为：

R_s（23℃）＝（10.00074±0.00013）Ω

    同时说明置信概率p＝99%。

    由于U₉₉＝0.13mΩ，按表2，k_p＝2.58，其标准不确定度为u（R_s）＝0.13mΩ／2.58＝50 Ω，估计方差为u^２（R_s）＝（50 Ω）^２＝2.5×10^－9Ω^２。相应的相对标准不确定度为：

u_rel（R_s）＝u（R_s）／R_s＝5×10^－6

5.4   如根据所获得的资料表明，输入量Xi的值有50%的概率落于a_－和a₊的区间内。取X_i的*估计值x_i为该区间的中点。设该区间的半宽为（a_＋－a_－）／2＝a。在假设X_i的可能值接近正态分布的前提下，按表2，k₅₀＝0.67，则取x_i的标准不确定度u（x_i）＝a／0.67，其方差为u^２（x_i）＝（a／0.67）^２

    例：机械师在测量零件尺寸时，估计其长度以50%的概率落于10.07mm至10.15mm之间，并给出了长度l＝（10.11±0.04）mm，这说明0.04mm为p＝50%的置信区间半宽，在接近正态分布的条件下，按表2，k₅₀＝0.67，则长度l的标准不确定度为u（l）＝0.04mm／0.67＝0.06mm，其方差为u^２（l）＝（0.04mm／0.67）^２＝3.5×10^－3mm^２。

5.5   如已知信息表明Ｘ_i之值接近正态分布；并以0.68概率落于（a_＋－a_－）／2＝a的对称范围之内，按表2，k_p＝1，则u（x_i）＝a。

5.6   如已知信息表明X_i之值x_i分散区间的半宽为a，且x_i落于x_i－a至x_i+a区间的概率p为，即全部落在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度u（x_i）＝a／k，因为k与分布状态有关，见表3。

表 3   常用分布与k、u（x_i）的关系

      表3中 为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，k＝6／（1+ ^２），特别当 等于1时，梯形分布变为矩形分布；当 等于0时，变为三角分布。

    例1：手册中给出纯铜在20℃时的线膨胀系数α₂₀（Cu）为16.52×10^－6℃^－1，并说明此值变化的半范围为α＝0.40×10^－6℃^－1。按α₂₀（Cu）在［（16.52－0.40）×10^－6℃^－1，（16.52+0.40）×10^－6℃^－1］区间内为均匀分布，于是

u（α）＝0.40×10^－6℃^－1／ ＝0.23×10^－6℃^－1

    例2：数字电压表制造厂说明书说明：仪器校准后1～2年内，在1V内示值zui大允许误差的模为14×10^－6×（读数）+2×10^－6×（范围）。设校准后20月在1V内测量电压，在重复性条件下独立测得电压V，其平均值为：



    平均值的实验标准差为： 。

    电压表zui大允许误差的模：

a＝14×10^－6×0.928571 V+2×10^－6×1V＝15 V

    a即为均匀分布的半宽，按表3，k＝3，则示值的标准不确定度为：

u（ΔV）＝15 V／ ＝8.7μV

    由示值不稳定性导致的不确定度为A类标准不确定度，即s（ ）＝12 V，由示值误差导致的标准不确定度为B类标准不确定度，即u（ΔV）＝8.7 V。

5.7   在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布是较合理的。但如果已知被研究的量X_i的可能值出现在a_－至a₊中心附近的概率，大于接近区间的边界时，则按三角分布计算。如果x_i本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分布（参见附录B）。

5.8   在输入量X_i可能值的下界a_－和上界a₊相对于其*估计值x_i并不对称的情况下，即下界a_－＝x_i－b_－，上界a₊＝x_i+b₊，其中b_－≠b+。这时由于x_i不处于a_－至a₊区间的中心，X_i的概率分布在此区间内不会是对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩形分布处理可采用下列近似评定：

                                    （16）

      例：设手册中给出的铜膨胀系数α₂₀（Cu）＝16.52×10^－6℃^－1，但指明zui小可能值为16.40×10^－6℃^－1，zui大可能值为16.92×10^－6℃^－1。

    这时，  b_－＝（16.52－16.40）×10^－6℃^－1

 ＝0.12×10^－6℃^－1

            b_＋＝（16.92－16.52）×10^－6℃^－1

  ＝0.40×10^－6℃^－1

    由式（16）得：

u（α₂₀）＝0.15×10^－6℃^－1

    有时对于不对称的界限，可以对估计值x_i加以修正，修正值的大小为（b₊－b_－）／2，则修正后x_i就在界限的中心位置x_i＝（a_－+a₊）／2，而其半宽a＝（a₊－a_－）／2，从而可按5.4～5.7各节所述方式处理。

5.9   对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为 则由此带来的标准不确定度为u（x）＝0.29 。

    对于所引用的已修约的值，如其修约间隔为 ，则因此导致的标准不确定度为u（x）＝0.29 。

5.10   在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为u（x_i）＝r／2.83或u（x_i）＝R／2.83（参见ISO 5725 Accuracy of measurement methods and results）。

5.11   当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该等别的测量不确定度大小，按5.2或5.3进行评定。

    当测量仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的zui大允许误差与其他信息进行评定。

5.12   B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度u（x_i）的相对标准不确定度 ｛u（x_i）｝／u（x_i）有关，其关系为：

                                     （17）

      根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来判断u（x_i）的标准不确定度，从而推算出比值 ［u（x_i）］／u（x_i）。按式（17）计算出的v_i列于表4：

表 4   ［u（x_i）］／u（x_i）与v_i关系

6   合成标准不确定度的评定

6.1   合成标准不确定度按输出量Y的估计值y给出的符号为u_c（y）。其中，y通常采用量的符号，如表压p_e，动力粘度 ，溶液中NaCl的质量分数w（NaCl）的合成标准不确定度，可分别表示为u_c（p_e）、u_c（ ）、u_c［w（NaCl）］。 （y）为输出估计值的合成方差，而合成标准不确定度u_c（y）为其正平方根。可以按不确定度分量的A、B两类评定方法分别合成，如u_cA（y）、u_cB（y）分别为仅按A、B类标准不确定度分量的合成不确定度。

6.2   当全部输入量X_i是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度u_c（y）由下式得出：

                                          （18）

    式中，标准不确定度u（x_i）既可以按A类，也可以按B类方法评定。u_c（y）是个估计的标准差，表征合理赋予被测量Y之值的分散性。式（18）是基于y＝f（x₁,x₂，…，x_N）的泰勒级数的一阶近似，称为“不确定度传播律”。但当f是明显非线性时，式（18）中还应包括泰勒级数的高阶项，当每个输入量X_i都对其平均值x_i对称分布时，加进式（18）的下一高阶的主要项为：



6.3   偏导数 是在X_i＝x_i时导出的，这些偏导数称为灵敏系数，符号为c_i，即c_i＝ 。它描述输出估计值y如何随输入估计值x₁,x₂,…，x_N的变化而变化。尤其是，输入估计值x_i的微小变化Δx_i引起y的变化，可用（Δy）_i＝（ ）Δx_i＝c_iΔx_i表示，如这一变化系u（x_i）所导致，则y的相应变化为（ ）u（x_i）＝c_iu（x_i）。因而式（18）在X_i互不相关时，可表达为：

                                   （19）

       式中，c_i＝ ，u_i（y）＝｜c_i｜u（x_i）

      偏导数应是在X_i的期望值下评定，即：



例：在3.9节的例中，

    由于各分量互不相关，因而合成方差u^２（Ｐ）为：

6.4   有时，灵敏系数c_i可由实验测定，即通过变化第i个x_i，而保持其余输入量不变，从而测定Y的变化量。

6.5   如果，式（2）对输入量X_i的标称值X_i,0作一阶展开：

式中：Y₀＝f（Ｘ_1,0,X_2,0,…，X_N,0）；

c_i＝ 在X_i＝X_i,0求导；

＝X_i－X_i,0

    为了分析不确定度，常将X_i变换到 ，使被测量近似地为线性函数。

    例：5.6节例2中电压 ，设电压重复测量按A类评定方法得出 ,而测量出的平均值 ，附加修正值ΔＶ＝0。

    测量仪器引入的标准不确定度u（ΔV）＝8.7 V，由于 及 ,并且， 彼此独立，故V的合成方差为：

    合成标准不确定度为：

u_c（Ｖ）＝15 V

    相对合成标准不确定度为：

u_crel（V）＝u_c（V）／V＝16×10^－6

6.6   在X_i彼此独立的条件下，如果函数f的形式表现为：

Y＝f（X_１，Ｘ_２,…，X_N）

    式中，系数c并非灵敏系数，指数p_i可以是正数、负数或分数，设p_i的不确定度u（p_i）可忽略不计，则式（18）可表示为：

                                   （20）

    这里，给出的是相对合成方差，式（20）说明在这一函数关系下，采用相对标准不确定度u_crel＝u_c（y）／｜y｜和u_rel（x_i）＝u（x_i）／｜x_i｜进行评定比较方便，但要求y≠0和x_i≠0。

    而且，当Y具有这一函数形式时，可设X_i＝X_i,0（1+ _i），从而实现将Y变换成线性函数（见6.5），并得到以下近似关系：



    另外，对数变换Z＝lnＹ和W_i＝lnX_i可以使新的变量*线性化为：

    如果，指数p_i只是+1或－1，式（20）就进一步简化为：

    即估计值y的相对方差等于输入估计值x_i的相对方差之和。若y＝xⁿ，则

    即y为x的n次幂时，y的相对不确定度等于x的相对不确定度的n倍。

    例1：立方体体积V的测量通过输入长l、宽b和高h，其函数关系为：

V＝f（l,b,h）＝lbh

    按式（20）可得：

    或写成：

      例2：圆柱体体积V的测量通过输入半径r与高h，其函数关系为：

V＝πr^２h

    式中，u（π）可通过取适当的有效位而忽略不计，则按式（20）可得：

6.7   当被测量Y为相互独立的输入量X_i的线性函数时，且灵敏系数c_i为+1或－1，则式（18）可简化为：

                                            （21）

    例：y＝x₁+x₂

    且x₁与x₂无关，u（x₁）＝１.73mm，u（x₂）＝1.15mm

    则



6.8   当输入量X_i明显相关时，就必须考虑其相关性。相关常由相同原因所致，比如当两个输入量使用了同一台测量仪器，或者使用了相同的实物标准或参考数据，则这两个输入量之间就会存在较大的相关性。

6.9   当输入量相关时，测量结果y的合成方差 的表达式为：

                        （22）

式中，x_i和x_j分别是X_i和X_j的估计值，而协方差u（x_i,xj）＝u（xj, x_i），则x_i与xj之间相关程度可用估计的相关系数来表示：

                                       （23）

    式中，r（x_i,x_j）＝r（x_j,x_i）且－1≤r（x_i,x_j）≤+1，如x_i与x_j相互独立，则r（x_i, x_j）＝0，即一个值的变化不会预期另一个值也发生变化。

    相关系数这一术语比协方差易于理解，式（22）中的协方差项可写成：

                               （24）

采用灵敏系数的符号，式（22）即为：

                              （25）

    在所有输入估计值都相关，且相关系数r（x_i,x_j）＝1的特殊情况下，式（25）简化为：



    这时,u_c（y）为由每个输入估计值x_i的标准不确定度u（x_i）产生的输出估计值y的标准不确定度分量u_i（y）＝c_iu（x_i）的线性和。

例：当标称值均为1kΩ的10个电阻器，用同一个值为Rs的标准电阻器校准时，设校准不确定度可忽略，检定证书给出的R_s不确定度为u（R_s）＝0.10Ω。现将此10个电阻器用电阻可忽略的导线串联，构成标称值为10kΩ的参考电阻 。由于对电阻器来说 ，则：

故得 

6.10   合成标准不确定度u_c（y）的自由度称为有效自由度v_eff,如果 是两个或多个估计方差分量的合成，即 ＝ ，则即使当每个x_i均为服从正态分布的输入量X_i的估计值时，变量（y－Y）／u_c（y）可以近似为t分布，其有效自由度v_eff可由韦尔奇萨特思韦特（Welch-Satterthwaite）公式计算：

                                           （26）

显然有：

    式（26）也可用于相对标准不确定度的合成，按式（20）计算时有：

                                        （27）

    必要时除v_eff外，可分别处理 和 对 的贡献，其关系为：

      例：设y＝f（X₁,X₂,X₃）＝bX₁X₂X₃,输入量X₁、X₂、X₃彼此独立，其估计值x_１、x_２、x₃是独立重复观测值的算术平均值，重复次数分别为n₁＝10,n₂＝5和n₃＝15，则其相对标准不确定度分别为：

u_rel（x₁）＝u（x₁）／x₁＝0.25%

u_rel（x₂）＝u（x₂）／x₂＝0.57%

u_rel（x₃）＝u（x₃）／x₃＝0.82%

    则其合成方差按式（20）为：

                   ＝（1.03%）^２

    有效自由度为：

＝19

6.11   当随机效应或系统效应导致的不确定度分量，既可以按统计方法取得，又可以按其他方法评定时，只允许在u_c（y）中包含其中的一个。

      同一种效应导致的不确定度已作为一个分量进入u_c（y）时，它不应再被包含在另外的分量之中。例如：在几何量测量中，通过重复安装进行读数来得出被测件由于安装的不确定度因素导致的分量，其中就包含了读数导致的分量，在计算u_c（y）时，就不应再加入读数的不确定度分量。

    7   扩展不确定度的评定

7.1   扩展不确定度分为两种：

    a）在合成标准不确定度u_c（y）确定后，乘以一个包含因子k,即U＝ku_c（y）。可以期望在y－U至y+U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取2～3，在大多数情况下取k＝2，当取其他值时，应说明其来源。

    b）将u_c（y）乘以给定概率p的包含因子k_p，从而得到扩展不确定度U_p。可以期望在y－U_p至y+U_p的区间内，以概率p包含了测量结果的可能值。k_p与y的分布有关。当可以按中心极限定理估计接近正态分布时，k_p采用t分布临界值（或简称t值，见附录A）。k_p＝t_p（v_eff），一般采用的p值为99%和95%。多数情况下，采用p＝95％。对某些测量标准的检定或校准，根据有关规定可采用p＝99%。当v_eff充分大时，可以近似认为k₉₅＝２、k₉₉＝3,从而分别得出U₉₅＝2u_c（y）、U₉₉＝3u_c（y）。

7.2   当只给出扩展不确定度U时，不必评定各分量及合成标准不确定度的自由度v_i及v_eff。

    在实际工作中，如对Y可能值的分布作正态分布的估计，虽未计算v_eff，但可估计其值并不太小时，则U＝2u_c（y）大约是置信概率近似为95%的区间的半宽，而U＝3u_c（y）大约是置信概率近似为99%的区间的半宽。

7.3   如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则决不应按k＝2～3或k_p＝t_p（v_eff）计算U或U_p。例如，Y可能值近似为矩形分布，则包含因子k_p与U_p之间的关系如下：

    对于   U₉₅，k_p＝1.65

    对于   U₉₉，k_p＝1.71

8   测量不确定度的报告与表示

8.1   当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。报告应尽可能详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。按技术规范要求无需给出测量不确定度的除外。

8.2   在工业、商业等日常的大量测量中，有时虽然没有任何明确的不确定度报告，但所用的测量仪器是经过检定处于合格状态，并且测量程序有技术文件明确规定，则其不确定度可以由技术指标或规定的文件评定。

    证书上的校准结果或修正值应给出测量不确定度。

8.3   对于比较重要的测量，不确定度的报告一般包括以下内容：

    a）有关输入量与输出量的函数关系以及灵敏系数c_i；

    b）修正值和常数的来源及其不确定度；

    c）输入量X_i的实验观测数据及其估计值x_i，标准不确定度u（x_i）的评定方法及其量值、自由度v_i，并将它们列成表格；

    d）对所有相关输入量给出其协方差或相关系数r及其获得方法；

    e）测量结果的数据处理程序，该程序应易于重复，必要时报告结果的计算应能独立重复。

8.4   当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，除8.3所涉及的内容外，还须注意：

    a）明确说明被测量Y的定义；

    b）给出被测量Y的估计值y、合成标准不确定度u_c（y），及其单位，必要时还应给出自由度v_eff或v_effA、v_effB。

    c）必要时也可给出相对标准不确定度u_crel（y）。

8.5   合成标准不确定度u_c（y）的报告可用以下4种形式之一，例如，标准砝码的质量为m_s，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度u_c（m_s）为0.35mg，则

    a）m_s＝100.02147g;合成标准不确定度u_c（m_s）＝0.35mg。

    b）m_s＝100.02147（35）g;括号内的数是按标准差给出，其末位与前面结果内末位数对齐。

    c）m_s＝100.02147（0.00035）g;括号内按标准差给出，与前面结果有相同计量单位。

    d）m_s＝（100.02147±0.00035）g;正负号后之值按标准差给出，它并非置信区间。

    形式b）一般用于公布常数、常量。

    形式d）虽为ISO 31《量和单位》一贯采用，但因习惯上用于表示高置信概率的区间，一般应避免使用。

8.6   当用U或U_p报告测量扩展不确定度时，除8.3所涉及的内容外，还应注意：

    a）明确说明被测量Y的定义；

    b）给出被测量Y的估计值y，扩展不确定度U或U_p及其单位；

    c）必要时也可给出相对扩展不确定度U_rel;

    d）对U应给出k值，对U_p应明确p值，本规范推荐给出v_eff，以便于不确定度传播到下一级。

8.7   U＝ku_c（y）的报告可用以下两种形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg，取包含因子k＝2,U＝2×0.35mg＝0.70mg，则

    a）m_s＝100.02147g,U＝0.70mg;k＝2。

    b）m_s＝（100.02147±0.00070）g;k＝2。

8.8   U_p＝k_pu_c（y）的报告可用以下4种形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg,v_eff＝9，按p＝95%，查附录A得k_p＝t95（9）＝2.26，U95＝2.26×0.35mg＝0.79mg,则

    a）m_s＝100.02147 g;U95＝0.79mg,v_eff＝9。

    b）m_s＝（100.02147±0.00079）g;v_eff＝9,括号内第二项为U₉₅之值。

    c）m_s＝100.02147（79）g;v_eff＝9，括号内为U₉₅之值，其末位与前面结果内末位数对齐。

    d）m_s＝100.02147（0.00079）g;v_eff＝9,括号内为U₉₅之值，与前面结果有相同计量单位。

8.9   不确定度也可以相对形式Urel或urel报告，例如：

    a）m_s＝100.02147（1±7.9×10^－6）g;p＝95％，式中7.9×10^－6为U_95rel之值。

    b）m_s＝100.02147g;U_95rel＝7.9×10^－6。

8.10   上述列举的表达形式中的符号含义，必要时应有文字说明，也可采用它们的名称代替符号，或同时采用。如有必要，单位的符号亦可代之以中文符号或名称。

8.11   通常在报告以下测量结果时，使用合成标准不确定度u_c（y），同时给出自由度v_eff：

    a）基础计量学研究；

    b）基本物理常量测量；

    c）复现单位制单位的比对（按有关规定，亦可采用k＝2）。

8.12   当给出扩展不确定度U_p时，为了明确起见，推荐以下说明方式，例如：

m_s＝（100.02147±0.00079）g

    式中，正负号后的值为扩展不确定度U₉₅＝k₉₅u_c，而合成标准不确定度u_c（m_s）＝0.35mg，自由度v＝9，包含因子k_p＝t₉₅（9）＝2.26，从而具有约为95%概率的置信区间。

8.13   估计值y的数值和它的标准不确定度u_c（y）或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。通常u_c（y）和U［以及输入估计值x_i的标准不确定度u（x_i）］zui多为两位有效数字。虽然在某些情况下，为了在连续计算中避免修约误差而必须保留多余的位数。

    在报告zui终结果时，有时可能要将不确定度zui末位后面的数都进位而不是舍去。例如，u_c（y）＝10.47mΩ，可以进位到11mΩ。但一般的修约规则（参见《GB 3101—1993有关量、单位和符号的一般原则》）也应该可用。如u（x_i）＝28.05kHz经修约后写成28kHz。输入和输出的估计值，应修约到与它们不确定度的位数一致。例如，如果y＝10.05762Ω其u_c（y）＝27mΩ，则y应进位到10.058Ω。如果相关系数的值接近1时，则相关系数应给出三位数字。

附录A

t分布在不同置信概率p与自由度v的

t_p（v）值（t值）（补充件）

    a：对期望 ，总体标准 的正态分布描述某量z,当k＝1，2，3时，区间 ±k 分别包含分布的68.27%，95.45%，99.73%。

    注：当自由度较小而又有较准确要求时，非整数的自由度可按以下两种方法之一，内插计算t值

    1）按非整v内插求t_p（v）

对v＝6.5，p＝0.9973，由

   t_p（6）＝4.90，t_p（7）＝4.53

得   t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（6.5－7）／（6－7）＝4.72

    2）按非整v由v－1内插求t_p（v）

       例：对v＝6.5，p＝0.9973，由

t_p（６）＝4.90，t_p（7）＝4.53

    得t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（1／6.5－1／7）／（1／6－1／7）＝4.72

    以上，第二种方法更为准确。

附录B

概率分布情况的估计（参考件）

B.1   正态分布

    a）重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；

    b）被测量Y用扩展不确定度U_p给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布；

    c）被测量Y的合成标准不确定度u_c（y）中，相互独立的分量u_i（y）较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布；

    d）被测量Y的合成标准不确定度u_c（y）中相互独立的分量u_i（y）中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；

    e）被测量Y的合成标准不确定度u_c（y）的相互独立的分量中，量值较大的分量（起决定作用的分量）接近正态分布时。

B.2   矩形（均匀）分布

    a）数据修约导致的不确定度；

    b）数字式测量仪器对示值量化（分辨力）导致的不确定度；

    c）测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；

    d）按级使用的数字式仪表、测量仪器zui大允许误差导致的不确定度；

    e）用上、下界给出的线膨胀系数；

    f）测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；

    g）平衡指示器调零不准导致的不确定度。

B.3   三角分布

       a）相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；

    b）因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；

    c）用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；

    d）两相同均匀分布的合成。

B.4   反正弦分布（U形分布）

    a）度盘偏心引起的测角不确定度；

    b）正弦振动引起的位移不确定度；

    c）无线电中失配引起的不确定度；

    d）随时间正余弦变化的温度不确定度。

B.5   两点分布

    例如，按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布。

B.6   投影分布

    a）当X_i受到1－cos （角 服从均匀分布）影响时，x_i的概率分布；

    b）安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度。

B.7   无法估计的分布

    大多数测量仪器，对同一被测量多次重复测量，单次测量示值的分布一般不是正态分布，往往偏离甚远。如轴尖支承式仪表示值分布，介于正态分布与均匀分布之间，数字电压表示值分布呈双峰状态，磁电系仪表的示值分布与正态分布相差甚远。

附录C

有关量的符号汇总（参考件）

    以下符号来源于GUM；ISO 3534—1：1993；IEC27与ISO5725—1：1994。

a     输入量X_i可能值为矩形分布时的半宽；

a＝（a₊－a_－）／2

a₊   输入量X_i的上限

a_－   输入量X_i的下限

b    修正值

b₊    输入量X_i按其估计值x_i的偏差的上限：

b₊＝a₊－x_i

b_－   输入量X_i按其估计值x_i的偏差的下限：

b_－＝x_i－a_－

cov   协方差，随机变量y和z的协方差表示为cov（y,z）＝cov（z,y）

c_i    偏导数或灵敏系数c_i＝f／x_i

f    被测量Y与和Y有关的输入量X_i之间的函数关系，或输出量估计值y与和y有关的输入估计值

x_i之间的函数关系

    偏微分（偏导数）

输入量X_i与被测量Y之间存在函数关系f时，X_i之估计值量x_i的偏微分，恒按下式估计：

k     包含因子（覆盖因子）。用于与输出量估计值y的合成标准不确定度u_c（y）相乘，以得出扩展不确定度Uku_c（y）

的包含因子。由此，可给出一个具有较高置信概率的区间Y＝y±U

k_p     用于与输出量估计值y的合成标准不确定度u_c（y）相乘，以保证所得到的扩展不确定度U_p＝k_pu_c（y）

具有某给定置信概率（置信水平）p的包含因子

m    总平均值；被测量的个数；与被测量y有关的输入量x_i的数目

n    重复观测次数

N    与被测量Y_i有关的输入量X_i的数目

p    概率；置信概率；置信水准；置信水平：0≤p≤1

P（A）； 事件A发生的概率

Pr（A）

q    用概率分布描述的随机变量

q    随机变化的量q在n次独立重复观测中的观测值q_k的算术平均值；q概率分布均值 _q或其期望的估计q_k随机

变量独立重复观测中q的第k个观测值

r    重复性限

r（x_i,x_j）  输入量X_i与X_j的输入估计值x_i与x_j的估计相关系数：

r（x_i,x_j）＝u（x_i,x_j）／u（x_i）u（x_j）

通过输入量X_i和X_j的n对独立同时重复观测值X_j;k和X_j;k所确定的输入均值X_i和X_j的估计相关系数：

r（y_i,y_j）   在同一测量程序中所确定的两个或多个输出量或是被测量中，输出估计量y_i与y_j的估计相关系数

R    复现性限（再现性限）

   方差的组合样本估计值

s_p   组合样本标准差;等于s^２p的正平方根

s_r   重复性标准差sR复现性标准差（再现性标准差）

算术平均值 的实验方差，它是算术平均值 方差 ^２／n的估计值。方差由A类评定方法获得

s（ ）  算术平均值 的实验标准差，等于 实验方差s^２（ ）的正平方根；s（ ）是总体标准差 （ ）的有偏

估计；为A类评定方法获得的标准不确定度

s^２（q_k）   变量q的n次独立重复测量值q_k所得到的方差的样本估计，是变量q的概率分布的总体方差 ^２的估计

s（q_k）  实验标准差或样本标准差，等于样本方差s^２（q_k）的正平方根；它是变量q的概率分布的总体标准差

的有偏估计

输入量X_i的均值X_i的实验方差，由X_i的n次独立重复观测值X_i,k所得出；A类评定方法获得的方差

   输入量X_i的均值X_i的实验标准差，等于方差s^２（X_i）的正平方根。由A类评定方法所获得的标准不确定度

   均值 与 的协方差的估计。这两个均值是两随机变量q与r的期望 _q和 _r的估计，而且它们是由n

对独立同时重复观测q_k和r_k所计算出的；协方差由A类评定方法所获得。

输入量X_i和X_j的均值X_i和X_j的协方差的估计。它们由n对独立同时重复观测值X_i,k和X_j,k所得出；协方差

由A类评定方法所获得

t_p（v）    t－因子（t－factor）。它按所给定的概率p与已知的自由度v给出

t_p（v_eff）   对于有效自由度v_eff以及与给定概率p相应的t分布的t值。它用于计算扩展不确定度U_p

u^２（x_i）   输入量X_i的估计值x_i的估计方差

    注：当x_i由n次重复观测值的算术平均值得出时：

    即自A类评定方法所获得的方差

u（x_i）    输入估计值x_i的标准不确定度。x_i是输入量X_i的估计。u（x_i）等于方差u^２（x_i）的正平方根

    注：当x_i是由n次独立重复测量的算出时：

    即自A类评定方法所获得的标准不确定度（A类标准不确定度）

u（x_i,x_j）   两输入量X_i和X_j的输入估计值x_i与x_j的估计值协方差

    注：x_i与x_j是从n次独立同时重复观测值算出时，有：

    即是从A类评定方法所获得的协方差

   输出估计值y的合成方差

u_c（y）   输出估计值y的合成标准不确定度，等于合成方差 的正平方根

  输出估计值y的所有按A类评定方法所确定的标准不确定度以及协方差的合成标准不确定度（A类合成标准

不确定度）

u_cB（y）   输出估计值y的所有按B类评定方法所确定的标准不确定度以及协方差的合成标准不确定度（B类合成标

准不确定度）

u_c（y_i）  在同一测量程序中，有两个或两上以上的被测量或输出量y_i时，输出估计值y_i的合成标准不确定度

   由输入估计值x_i的估计方差u^２（x_i）所形成的估计值y的合成方差 的分量：

u_i（y）   由输入估计值x_i的标准不确定度u（x_i）产生输出估计值y的合成标准不确定度u_c（y）的分量u_i（y）≡｜c_i｜u（x_i）

u（y_i,y_j）   输出估计值y_i与y_j的估计协方差（在同一测量程序中的输出估计值y_i与y_j）

u（x_i）／｜y_j｜输入估计值x_i的相对标准不确定度，也用u_rel（x_i）

u_c（y）／｜y｜输出估计值y的相对合成标准不确定度，也用u_crel（y）

［u（x_i）／x_i］］^２输入估计值x_i的估计相对方差，也用u^２_rel（y）

［u_c（y）／y］^２输出估计值y的相对合成方差，也用u^２_crel（y）

输入估计值x_i和y_j的估计相对协方差，也用u_rel（x_i, y_j）

u_rel；u_r    相对标准不确定度

U     提供一个置信区间Y＝y±U的输出估计值y的扩展不确定度。它等于包含因子k与y的合成标准不确

定度u_c（y）之积：

U＝ku_c（y）

U_p    以置信概率p提供置信区间y＝y±U_p的输出估计值y的扩展不确定度。它等于包含因子k_p与合成标准不

确定度u_c（y）之积：

u＝k_pu_c（y）

U_rel;U_r    相对扩展不确定度，相对展伸不确定度

U_prel;U_pr置信概率p的置信区间相对半宽度；概率为p的相对扩展不确定度

x_i    输入量X_i的估计值

    注：当x_i是由n次独立重复观测值的算术平均值得出时：

x_i＝

X_i     与被测量Y相的第i个输入量

    注：X_i可以是物理量或随机变量

   输入量X_i的估计值，等于X_i的n次独立重复观测量值X_i,_k的算术平均值

X_i，_k   输入量X_i的第k个独立观测值

y    被测量Y的估计值；测量结果；输出估计值

y_i     在同一测量程序中，当有两个或多个被测量要测出时，被测量Y_i的估计值

    被测量Y测量结果的算术平均值

    y_i的平均值；y_i的总平均值

    分辨力；修约间隔

_q   随机变量q概率分布的期望或均值；数学期望；总体平均值

v    自由度的一般符号

v_i     输入估计值x_i的标准不确定度u（x_i）的自由度

v_eff   在计算扩展不确定度U_p时，为得到t－因子t_p（v_eff），合成标准不确定度u_c（y）的有效自由度

v_effA所有通过A类评定方法所获得的标准不确定度分量合成后，成为一个A类标准不确定度的有效自由度，即u_cA（y）的有效自由度

v_effB所有通过B类评定方法所获得的标准不确定度分量合成后，成为一个B类标准不确定度的有效自由度，即u_cB（y）的有效自由度

随机变量q概率分布的方差，用s^２（q_k）估计

  概率分布的标准差；标准差的真值。等于 ^２的正平方根，s（q_k）为 的有偏估计值

的方差，等于 ^２／n，由s^２（ ）估计：

s^２（q）＝s^２（q_k）／n

的标准差，等于 的正平方根；s（ ）为 （ ）的有偏估计

的实验标准s（ ）的方差

平均值 的实验标准差s（ ）的总体标准差，等于 ^２［s（ ）］的正平方根

标准不确定度u（x_i）的相对不确定度，用于评定B类标准不确定度的自由度

附录D

术语的英汉对照（参考件）