振动传感器现在能看到这里的人，非物理专业（或者说数学专业）的人已经不多了，所以我即将换一种轻松而又物理的语调来叙述这样一个优美的微振动理论。

问题的出发点是简单的，我们如何描述一个在势能极小值点附近运动的物体？

首先，写出体系的拉格朗日量：

此外，对体系做一个泰勒展开保留至二阶：

当我们考虑一个这样的运动：，其中，并且

那么，选取为一新的广义坐标，系统的拉格朗日量就是：

其中

对应的拉格朗日方程是：，由于方程不显含有自变数，先考虑这是一个周期运动。

“振动传感器傅里叶变换”后得到：

这个方程有解的的条件（物理要求）是：

由于频谱上无展宽，而取值为无穷大以保证傅里叶积分的收敛性，从而，其中系数A、B靠初始条件而定。

带入方程验证知，这确实是实在的解。采取上面的办法是为多自由度振动和强迫振动做一个铺垫，也就是开了车的。

注意到一般是纯实的，可以写作

多自由度，同样做类似的微振动近似处理，期待的拉格朗日量就是：

其中动能、势能都是正定的二次型，因此引入

得到，现在问题的思路有两个：

振动传感器首先获得其欧-拉方程：

“傅里叶变换”之后，求出其根，并由于积分的收敛性要求：

线性代数理论告诉我们，对于正定对称的，可以有如下分解：

首先M可以写作:，其中是非退化的。

另外，对于对称正定矩阵相似且合同于一对角阵，即主轴变换，且本征值都是正的：

所以

可以看出，变换之后的拉格朗日量是解耦的，是等效为了一些新坐标的直接叠加，而褪去了耦合。

对应的微分方程是：

是解耦了的。

变换之后的坐标叫做简正坐标。

矩阵

的谱会存在可能的简并，这往往对应着体系存在一个对称操作。

给出一个简单的习题：

中的题

（侵删）

小问无疑是简单易求的，顺带求出各模式的简并程度，从直觉上给出可能的对称操作。