应变式称重传感器的设计与计算：
此篇文章的形成是基于对称重传感器设计者能有所帮助。它深入分析推导出一些公式，这些公式能够计算出位于称重传感器上的某些尺寸大小，并提供所需要的输出。此篇文章还介绍了各种误差来源及设计建议。
粘贴式电阻应变计广泛应用于当今高精度测力与称重传感器的制造中。本篇文章为帮助称重传感器设计者计算出称重传感器尺寸大小，从而为获得需要的输出作了充分的准备。设计者既可以运用有限元分析法经计算机程序（如果可能）来确定称重传感器所需要的尺寸，或运用本文所提供的公式来计算此尺寸。应力公式选自一部非常好的书——应力与应变公式（见参考文献[1]）。除了公式汇编，本文还讨论了误差的可能来源及设计建议，有关误差来源的信息主要是基于作者的经验。文中所描述的相关称重传感器没有作砖利调查，在考虑把所讨论的设计用于产品的生产或推向市场前，有必要作一下调查。
通过某些假设得出的这些计算公式，另外还有电阻应变计的特性、应力形式、材料特征以及机械加工的偏差都会导致计算结果的一定误差。在批量制造称重传感器前，应制造几个样机进行组装、测试和标定。
在某些工业中，如航天工业也许只需要一次性的称重传感器，为决定其非线性、重复性和滞后等误差，在使用前对其进行标定是十分重要的。当计算机被应用于数据处理时，非线性、零点漂移及灵敏度变化，是很容易修正的。如果称重传感器在使用时要经历强烈的温度变化和外部附加载荷的影响，我们应进行试验并测量出这些影响量所造成的误差。如果某部分结构（如接头、销子、压杆）用来测量或是被用作称重传感器时，标定和测试就尤为重要了。
称重传感器设计包括许多方面，这里对其制造生产不予讨论，例如，需要对电阻应变计安装技术知识的**了解，一些电阻应变计制造商提供技术资料的同时，还应提供电阻应变计安装的分类等。
有关称重传感器设计的附加内容见参考文献[2]（a）和[2]（b）。这份小册子及计算机程序比较完整，可以从制造商那里获得。
在过去十年中，计算机技术的发展改变了称重传感器的设计、制造与记录方式，例如在电阻应变计被安装后，所有的称重传感器都有一个原始的不平衡（当没有载荷作用时，也有输出信号存在）。通常零点调整电阻被应用于商业称重传感器，以便消除这种不平衡。运用计算机程序，零点不平衡数据很容易被除掉。除了零点调整电阻外，在精密的商业称重传感器中安装了许多电阻，便于补偿诸如零点和灵敏度温度影响。如果在记录数据的同时，称重传感器的温度也进行了测量，并且当这个称重传感器被标定时，温度造成的误差已被测定，那么就应该运用计算机程序修正*终数据。商业称重传感器制造商不为计算机提供用于修正原始不平衡或温度影响的数据，因为他们不想局限市场。商业称重传感器不安装零点平衡及温度补偿电阻会节省大量资金，尤其是需求量很大时效果更明显。
符号定义
a—结构系数。
A—横截面面积。
A'—中性轴上横截面面积。
A1—中性轴上翼缘面积。
A2—中性轴上腹板面积。
b—应变梁翼缘或矩形截面的宽度。
c—从中性轴到应变梁或翼缘上表面的距离。
d—从中性轴到翼缘下表面的距离。
e—拉伸或压缩应变。
e1、e2、e3、e4—应变计1、2、3、4的应变值。
—应变计1应变的优良值。
es—应变梁表面应变。
et—电桥的总有效应变。
Ei—电桥的激励电压。
E0—电桥的输出电压。
Em—弹性模量。
f—翼缘厚度。
Gf—应变计灵敏系数。
h—应变梁厚度。
J—横截面的惯性矩。
l—从应变梁中心到应变计中心线的距离。
L—应变梁上两个应变计中心线之间的距离。
μ—泊松比。
M—应变计中心的弯矩。
N—电桥应变放大系数。
p—分载荷。
P—主载荷。
r—圆柱式弹性体半径。
S—拉伸或压缩应力。
Sa—平均应力。
Sb—弯曲应力。
Ss—剪切应力。
t—中性轴处腹板的厚度。
T—轴的扭矩。
V—剪力。
Z'—从中性轴到A'质心的距离。
Z1—从中性轴到翼缘质心的距离。
Z2——从中性轴到腹板质心的距离。
应变式称重传感器的设计与计算
称重传感器的输出计算
| 图1 称重传感器电路简图 | 图1是一个不含温度补偿电阻的称重传感器电路简图。四个电阻应变计呈现在惠斯通电桥的桥臂上。请注意，应变方向相同的两个电阻应变计安装在电桥的相对桥臂上，以保证电桥灵敏度*大。例如，电阻应变计1和3受拉伸应力，2和4受压缩应力，那么这种安装的结果是当称重传感器承载后，增加了电桥从B点到C点的*终电压输出。相反，当称重传感器由于温度影响而改变它的电阻时，由于增加或减少相同的量，电桥的*终输出不会变化。这种电桥的构造由于温度产生单一的*小输出值，而使称重传感器产生*大输出值。 如图1所示，电桥输出E0与输入Ei之比为： （1） 式中：Gf—应变计系数，由应变计制造商提供的非尺寸大小因素。 |
et—电桥上应变计的全部有效应变产生的总的应变输出。
变化公式（1），得到总应变： （2）
通过这两个公式，便可以计算称重传感器的输出灵敏度E0/Ei，如果给出了电桥各桥臂的应变值，就可以计算出总的应变值et。如果给出了所需要的电桥输出值，要想确定电桥的总应变值et，我们必须知道每个桥臂的应变值：
et=e1-e2+e3-e4
式中：e1—应变计1的单轴应变值（通常是称重传感器上*大*主要的应变）。
e2、e3和e4—应变计2、3和4上的单轴应变值。
上述公式et中的加号和减号是由其在电桥上的位置而决定的。如果应变计1和3处于拉伸应力，使得电阻增加（或者相对于C、B处得到一个正的输出），应变计2和4处于压缩应力，使得电阻减小（或者是得到一个负的输出），则公式为：
et =e1-（-e2）+e3-（-e4）
*后，由于电桥的位置，应变计电阻的变化et的公式如下：
在全部称重传感器设计中，应变计1、2、3和4上的应变值存在着一个固定的关系N（电桥应变放大系数），则上式可以写为：
（3）
和
et=N（±e1） （4）
用公式（1）代替et，结果是：
（5）
公式（2）变化为：
（6）
有三种应力被应用于称重传感器的设计中，即拉伸与压缩应力，弯曲应力和剪切应力。
利用拉伸与压缩应力的称重传感器
利用拉伸应力与压缩应力的多为商业称重传感器，它是利用单一载荷产生的应力，代替被称物体产生的应力。由于有较小的纵剖面设计，能为所给的受力状态提供较大的输出。
在航空工业中，通常用圆柱形弹性体作称重传感器（处于拉伸应力或压缩应力的圆柱）是比较方便的。*好是将圆柱的两端固定或设计成双球面，若是作不到这一点，就把应变计粘贴在附加弯矩*小区域，那里的横截面存在有规律的变化，并产生*小的弯曲应力。
注意：1、应变计1、4和2、3为单轴结构或90°应变花，在圆筒表面相隔180°粘贴。
2、在载荷P方向，应变计1、3受拉伸，应变计2、4受压缩。
图2 电阻应变计位置图
图2是圆柱式称重传感器的一个例子，有关计算圆柱应力S的传统公式如下：
（7）
式中：P—轴向载荷。
A—圆柱横截面面积（图2的A-A部分）。
S—拉伸或压缩应力。
既然这是一个单轴向载荷的圆柱，就可应用虎克定律，其应力、应变可用如下公式计算：
（8）
S=e1Em （9）
式中：Em—弹性模量。
e1—1号应变计的轴向应变值。
圆柱式称重传感器电桥的输出应由公式（5）计算。
既然圆柱的尺寸大小是固定的，正如下面例子所给出的：假设一个额定载荷为P=2500Ib（磅）的钢制弹性体，弹性模量Em=10.6×106psi（磅/英寸2），圆筒的外径为2.0英寸，内径为1.75英寸。通过计算其横截面面积为A=0.736英寸2。
为通过公式（3）和（4）确定N，e1=e3，e2=e4=μe1，式中μ为泊松比。代入公式（3）和（4），其结果为：
N=1+μ+1+μ=2（1+μ）
由于钢的μ值为0.32，所以N=2.64。
利用公式（7）计算应力，即
磅/英寸2。
通过公式（8）确定应变计1的应变值，即
=320×10-6
通常写为e1=320microinches/inch（微英寸/英寸）。
如果应变计灵敏系数（由制造商提供）为2.0，代入公式（5）中，计算结果如下：
mv/v
这说明如果给电桥施加Ei=10V激励电压，一个2500磅的载荷施加在称重传感器上时，输出的变化应为E0=4.22mv。一个典型的商用称重传感器的额定输出为从2.00到3.00mv/v或从20到30mv（施加10v激励电压时），所以0.422mv/v是一个较低的输出。
若要增大这个例子中圆筒式称重传感器的输出，我们可以作很多工作。
（A）为求所需要的横截面面积A，假定计算灵敏度为2.0mv/v，就必须选择能形成这一面积的外径。可在圆柱弹性体表面粘贴应变计并使其受载进行验证，直到得出满足要求的直径为止。如果这种方法不行，可以试验下一个方法。
（B）电桥输出电压E0与输入电压Ei成正比，输入电压受材料，电桥电阻，应变计尺寸等限制（见参考文献[3]）。假定施加在电桥上的*大推荐电压为10V，要想应用更高的电压，可通过加大电桥电阻的方法，即采用更大电阻的应变计。图2展示的4个应变计，其中两个应变计在0°位置上（或粘贴一个90°的应变花），另两个应变计在180°位置上（或粘贴第2个应变花）。应用8个应变计的电桥，在圆柱表面沿0°，90°，180°和270°粘贴90°的应变花，电桥各臂电阻会增大一倍。这时输入电压可增大，但是由于推荐应用于电桥的电压与电阻的平方根成比例，所以这只能增加输出值的1.41倍。另外，如果应变计的栅长和栅宽分别由1/8英寸增大到1/4英寸时，应变计的面积便增加了4倍，而输出增加一倍。现在总输出增加了（1.41×2）或2.82倍，电桥电压会增加到28.2V，输出由11.9mv取代了4.22mv。
应变式称重传感器的设计与计算
柱式称重传感器的误差来源
一个泊松电桥（两个应变计测量主应变，另两个应变计测量由于泊松比影响而产生的应变）是固有的非线性电桥。对于一个灵敏度为2.0mv/v的称重传感器，这种固有的非线性大约为0.10%。电桥的非线性可以被另一个非线性部分所抵消一些。引起另一个非线性的原因是由于泊松比使得柱式弹性体横截面面积增加或减少。例如，当称重传感器承受压向载荷时，横截面面积增加，使压缩应力减小；当承受拉向载荷时，就是相反的情况。对于一个灵敏度为2.0mv/v的称重传感器，由于截面积变化引起的非线性误差大约为0.05%，所以总的非性误差为0.10%～0.05%或者0.05%。这是非常小的通常可以忽略不计，但是在称重传感器检测数椐中，这是应该被检测的误差。精密的商用称重传感器应利用附加的半导体应变计，此半导体应变计被粘贴在弹性体上，并串联在电桥电路的供桥端来补偿非线性。
注意图2圆柱式弹性体上应变计的安排，全部应变计被粘贴在同一个平面上，例如纵向应变计1和3为0°和180°，横向应变计2和4为90°和270°，且所有应变计的中心线处于一个横截面的水平线上。圆柱上的应变计如图2安排，有两个原因：
（A）弯曲应力是误差的来源之一，必须使之*小化。理论上，当应变计如图1和2粘贴连线时（如测量拉伸与压缩应力），弯曲应力被消除。因为并不存在准确上乘的贴片，建议采取其它方法使得弯曲应力产生的误差尽可能接近于零。在圆柱上弯曲力矩的方向通常是可以确定的，应变计应粘贴在圆柱弯曲力矩*小处，且在中轴线上（见图2），那里的弯曲应力理论上为零。
（B）如果圆柱大且应变计在同一个平面间隔90°粘贴，圆柱周围的任何温度变化都会导致信号漂移。所以电桥相邻两臂的应变计应尽量靠近粘贴，从而减少温度误差，这也是利用90°应变花的原因之一。
弯曲型称重传感器
设计过程与柱式结构有所不同，概述如下：
（A）由公式（3）和（4）确定有效应变N，通常是用公式（4）。
（B）为提供所需要的输出，由公式（6）确定要求的应变。
（C）通过公式（9），由应变算应力。
（D）根据载荷与尺寸大小建立应力公式。
（E）为计算所需尺寸大小，用（C）中计算出的应力替代（D）中产生的应力。
这是为满足所需要的输出，求得称重传感器尺寸大小的*普通方法。另一方面，如果已给出了尺寸大小，而输出E0/Ei是所要求得的，那么应依照前面所介绍的圆柱式称重传感器计算过程，应用公式（3）和（4），之后是公式（7）和（8），*后是公式（5）得到输出灵敏度E0/Ei。
图3 在载荷P作用下标准的双梁弯曲型称重传感器
图3是在载荷P作用下一个典型的双梁弯曲型称重传感器简图，为了看得清晰，去掉了外壳并加大了偏转度。这种商用称重传感器用于测量较低的载荷，应变计粘贴位置如图3所示。图1所示的电桥电路仍然有效。
图4 半根弯曲梁显示的2片应变计位置图
图4是一个自由体的简图，粘贴有2个应变计的半根应变梁。通常梁的大多数尺寸是固定的，厚度h根据所需要的输出进行计算。例如假定所需要的输出灵敏度E0/Ei是3.0mv/v，首先计算出有效应变值，既然所有的应变计产生相等的应变，由公式（3）和（4）得出N=4。制造商提供的应变计灵敏系数为2.1，接下来为提供所需要的输出，需要求出的应变e1可以通过公式（6）求得，即
英寸/英寸
又可写为：
e1=1429微英寸/英寸。
弹性体材料为17—4PH不锈钢，Em=29.1×106磅/英寸2。弯曲应力Sb由公式（6）计算出应变e1，代入公式（9）得出，即
Sb=e1Em=1429×10-6×29.1×106=41.580磅/英寸2。
在弯曲梁中求弯曲应力的传统公式如下：
式中：M—应变计2在中心线上的弯矩。
C—从中性轴到梁表面的距离。
J—应变计所在截面的惯性矩。
图5 弯曲梁上应变计到表面距离引起的误差
图4和图5给出p=P/2，C=h/2，l=L/2，M=pl，对于矩形截面J=bh3/12，把这些值代入Sb=Mc/J中，得出Sb=6pl/bh2，h的计算公式为：
（10）
现以用数值表示的实例进行说明，假设截面尺寸与载荷如下：
L—应变计中心线之间的距离，L=1.00英寸，l=L/2=0.50英寸。
P—满量程载荷，P=100磅，p=P/2=50磅。
b—梁的宽度，b=0.625英寸。
代入公式（10）得出的结果是：
英寸
应变式称重传感器的设计与计算
弯曲型称重传感器的误差来源
弯曲型称重传感器的误差来源，其一是由于粘贴在梁上的应变计，所用的应变粘结剂和防护涂料增加了非常薄的应变梁的刚度。因为应变计、应变粘结剂和防护涂料不会*具有弹性，这一附加刚度就会引起滞后和非线性误差。根据估算如果钢制弹性应变梁贴片处的厚度小于0.017英寸（0.43mm），铝制弹性应变梁的厚度小于0.030英寸（0.76mm），就会出现小的误差。其二如果不考虑被粘贴的应变计与表面的那段距离（见图5中的d），那么当你计算非常薄的梁的厚度时就会出现误差。因为应变计的应变值与其到中性轴的距离成正比，所以梁的表面应变es比应变计的应变e2小一些。为阐明这点，我们假定上面梁的厚度h为0.018英寸，为了求出所需要的输出，仍需假定应变计的应变为1429微英寸/英寸，则重新计算的表面应变为：
式中：C=h/2=0.018/2=0.009英寸。
d≈0.0015英寸。
被利用的新的应变为：
=1225微英寸/英寸。
为提供所需要的输出计算应变的误差，应该比这个例子大约高出17%，这只是计算梁厚度的一个估计的误差，并不是一个操作性的误差。
剪切型称重传感器
当载荷超过了弯曲型称重传感器的要求时，应设计成剪切型结构，但是，当载荷超过200000磅（90718kg）时，建议采用柱式结构。
剪切应变是一个角应变，不能像轴向应变那样进行测量，只能间接测量。莫尔圆有关纯剪切应力情况及应变计粘贴简图如图6所示。
图6 莫尔圆及应变计分布简图
莫尔圆表明切应力的*大值与处于拉伸状态的主应力的*大值是相等的，并且与梁的中性轴成45°方向。应变计是测量主应力产生的应变，因此应变计也同样应与中性轴成45°，如图6所示。此图同样表明一个没有载荷作用的平面部分正方形单元，当有载荷作用时正方形会变成菱形，使得一个应变计处于拉伸状态，而另一个应变计处于压缩状态。请注意应力是双轴的，其处于拉伸状态的主应力的轴向应变值不但与St成正比，而且随泊松比μSc而增加：
e1=（1+μ） （11）
式中：e1—应变计1的测量应变。
—单轴向范围内的基准应变，=S/Em。
μ—泊松比。
电桥各桥臂上的应变计承受同样的应变值，所以利用电桥总应变公式，可写为：
et=+++
=4（1+μ）
因为
所以 N=4（1+μ）
泊斯特（Purest）会议有学者认为这是不符合规则的，因为e1`并没有真实的存在，但是它确实提供了正确的答案，并在N值计算中有它是很方便的。用于计算所要求的可以提供所需输出的应变算公式（6）可变为：
（12）
计算出所要求的单轴应变后，应力通过公式（9）获得，即
Ss=St=-Sc=Em
能否准确计算出称重传感器上的应力，因切应力的种类和弹性体的结构不同而产生很大的差异。例如，一个承受纯剪切应力状态的扭转轴，其切应力计算可由下面典型的公式得出：
式中：Ss—切应力（与主应力的*大值相等）。
T—轴上的扭矩。
r—轴的半径。
J—横截面极惯性矩。
另一方面，直接利用剪切载荷准确的确定称重传感器上的切应力是极为困难的。对于剪切型轴销式称重传感器更是如此，下面列举了一些不够**的原因：
（A）应变计是通过其栅长测量的是应变区的平均应变。如果在应变区内切应力的变化曲线非常陡，且应变计尺寸非常大，所测量的应变值就会比峰值小。
（B）*大切应力只用了直接作用于其上的*大剪切载荷的一部分。公式假设剪切载荷在一个已知的面积内，从底部到顶部较均匀分布，且切应力*大值均匀分布在中性轴上。
（C）称重传感器上的载荷分布还应与安装接头的影响相吻合，如剪切型轴销式称重传感器，其载荷分布取决于轴销与安装接头两者之间的公差，所受载荷由于安装间隙不同而异。
我们将讨论三种切应力称重传感器。准确计算为保证所需输出的弹性体尺寸，与以前所用的程序*一样。首*行粗略计算，*后给出准确结果。切应力称重传感器尺寸大小的计算准确率，不如圆柱、弯曲和扭转型称重传感器。
工字形截面切应力称重传感器
*普通的用于计算切应力的公式为：
式中：Sa—平均切应力。
V—剪切载荷。
A—受剪部分的截面积。
这个公式可以用来计算破坏载荷，但不能给出弹性体粘贴应变计处中性轴上切应力的*大值。对于切应力的*大值的计算公式，应随着受剪截面的形状不同而变化。
图7 S形剪切式称重传感器
图7是另一个S形称重传感器简图，除了利用剪切应力代替弯曲应力外，其它均无变化。图中A-A截面对于两个轴都是对称的，从侧面角度看呈现两倍的尺寸关系。应变计粘贴在工字形截面的腹板上，其截面尺寸为b、c、d<%
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