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多声路超声流量计准确度解决方案与积分方法分析

1、前言：随着能源和水资源的性匮乏 , 一批关系国计民生的大型水利工程和引水调水工程在我国迅速发展, 如三峡水利枢纽 、南水北调工程等 。这些工程项目中经常包含一些口径和流量都很巨大的管道 , 如水电站机组进水管道等 , 常规流量计无法适应 。
  近年开发应用的多声路超声流量计 ,较好地解决了大口径水流量测量的技术难题 , 流量计制造不受管道口径的限制, 多声路配置可以适应较为复杂的流道结构和流态分布 , 故超声流量计已成为大口径水流量测量的***佳技术选择[ 1]。超声流量计属于速度式流量计 , 通过测量超声波在流体中顺流和逆流传播的时间差来计算声路线上的平均流速 , 并通过测量多条声路速度来加权平均计算待测截面上的平均流速 。超声流量计需要进行复杂运算才能得到***终的平均流速和流量 , 其采用的数学模型准确度对整个测量准确度有着非常重要的意义 。
  显然, 声路数越多, 流量积分准确度就越高, 但声路数的增加会大大增加流量计的成本 , 所以选择合理的声路位置 、匹配的权重系数就十分重要。超声流量计可以从提高时间及几何量的测量准确度来提高流量计本身的测量准确度 , 但是数值积分引入的测量误差 (简称积分误差 )始终为流量计所无法绕开;特别是随着微电子技术以及信号处理技术的飞速发展, 声路速度的测量准确度越来越高[ 2-3], 积分误差逐渐成为提高流量测量准确度的瓶颈 。对于常用的 4声路 、8声路超声流量计 , 积分误差是流量计测量误差的主要来源 ;对于声路数更多的情况 , 积分误差也是流量计测量准确度的重要影响因素。即使流量计安装满足前后直管段长度要求 , 其积分误差也依然存在 ;而若由于场地或资金限制导致无法满足时, 积分误差就更应引起注意 。

2、超声波流量计积分原理：
  超声流量计利用超声波在流体中传播的时间存在差异的特性 , 由置于待测截面两侧的一对换能器(如图 1所示 ), 测量超声波顺流与逆流传播的时间 td, i、 tu, i, 得到相应声路上的平均轴向速度[ 4](简称声路速度 )：



式中 :Li为声路长度, i为声路角 。对于单声路流量计,截面平均流速与该声路速度存在特定关系 , 但易受到流速分布廓形的影响 。为了提高流量计的测量准确度, 在待测截面上平行地布置多条声路 , 获得的声路速度可以代表待测截面上相应平行条带内的平均速度 , 如图 2所示 , 并依据各条带所占的权重系数 ωi, 用加权求和的方法计算流量 ,




图 1　声路速度的测量
式 (2)加权求和计算流量的方法实际利用了数值积分的原理 , 通过有限个声路采样点计算 l(z)·  v(z)的值 , 来逼近其在区间 [ -R, R] 上的定积分 :Q=∫R-Rl(z) v(z)dz=R∫1-1l(t R) v(t R)dt≈R∑Ni=1ωil(tiR) v(tiR)


图 2　流量积算示意图
式中 :z=t R为声路高度, t为相对声路高度 , l(z)为声路宽 度。 式 (3)将数值 积分 变换 到 [ -1, 1] 区间上来 , 方便不同半径时的计算 。若代入声路宽度 l(z)=2 R2-z2=2R 1 -t2, 则流量为 :Q=2R2∫1-1ρ(t)·  v(t R)dt≈ 2R2∑Ni=1ωi·  v(tiR)· ρ(ti)(4)式中 :ρ(t)= 1 -t2。相对于梯形公式、辛普森公式等插值型积分要求采样点固定甚至等距而言 , Gauss积分方法则是在采样点个数一定 、位置自由选择等限定下积分精度***高的一种方法[ 5]。圆管中的超声流量计一般采用 Gauss-Jaccobi积分法来确定声路的***优位置 ti和相应的权重系数 ωi,IEC41[ 6]及 PTC18[ 7]规程中已有不同声路数 N时的声路高度和权重系数 , 一般依此位置及系数安装超声探头并计算流量 。

3、声路高度与权重系数的推算：
3.1、Gauss-Jaccobi方案：
  根据 Gauss积分理论 , 相对声路高度 ti为带权 ρ(t)的正交多项式 PN(t)的根。对于圆形断面的管道 , 由式(4)可以看到权函数为 ρ(t)= 1 -t2, 这正好为古典的 Jaccobi正交多项式的权函数 (1 +t)α(1 -t)β的特殊情况, α=β =κ=0.5 , 故 Jaccobi正交多项式可以由式(5)递推[ 8]:Pj+1=[ Pj(2j+2κ+1)x-Pj-1(j+κ)] (j+κ+1)(j+1)(j+2κ+1)(5)起始值 P-1=0, P0=1 。进一步可以计算 PN的 N个根 ti, 即相对声路高度。而对于矩形管道或明渠 , 权函数 ρ(t)=1 ,则为 Legendre正交多项式问题 。此为圆形管道宜采用 Gauss-Jaccobi方案、方形管道宜采用 Gauss-Legendre方案的由来 。
  权重系数 ωi可通过下面的积分得到:ωi=1ρ(ti)∫1-1ρ(t)∏Nk=0, k≠it-tkti-tkdt (6)结合 Gamma函数 Γ(x)=∫∞0e-ttx-1dt, 式 (6)可以转化为容易计算的形式:ωi=1ρ(ti)Γ2(κ+N)(κ+N)22κ+1Γ(N+1)Γ(2κ+N+1)PN-1(ti)P′N(ti)(7)式中 :PN-1(ti)为 N-1阶 Jaccobi正交多项式 , P′N(ti)为 N阶 Jaccobi正交多项式的导数 。值得注意的是 , 该权重系数与数学上的 Gauss-Jaccobi积分的权重系数稍有差别 , 出于实际声路宽度可能与安装预期值有所差异的考虑 , 将 ρ(ti)从权重系数中剔除出来, 而在积分时采用其实测值 ρ(ti)=Lisin i/2代入计算 , 如式(4)所示 。表 1给出了 4声路及 9声路时的相对声路高度 ti和相应的权重系数 ωi。由于 Gauss-Jaccobi方案中 α=β =κ=0.5,可以经数学推导得到相对声路高度和权重系数的简化计算公式[ 9]:ti=cosiπN+1, i=1, 2, …, Nωi=1ρ(ti)πN+1sin2iπN+1(8)式中 :N为声路数量 。

3.2、OWICS方案：
  对于声路速度分布  v(z)可由相应阶数的代数多项式表达的情况 , Gauss-Jaccobi方案不存在截断误差;但实际声路速度分布与理想的代数多项式表达形式之间存在较大差异 , 特别是无法体现管壁处流速为零这动特性 , 导致流量积分结果偏高, 而声路数越少 , 流量计算值偏高的趋势越强烈 。考虑到充分发展的圆管紊流的实际声路速度分布与形如 (1 -t2)1/10的指数分布接近 , 可以将其从声路速度 v(z)中提取出来, 使  v′(z)接近于 1, 从而  v′(z)更容易为代数多项式所表达。 进一步将其与权函数 ρ(t) =1 -t2合成得到 : v(z)ρ(t)= v′(z)(1 -t2)1/ 10ρ(t)= v′(z)(1 -t2)0.6= v′(z)ρ′(t) (9)然后按照新的权函数 ρ′(t)=(1 -t2)0.6, 即 α =β =κ=0.6 , 可以计算不同声路数 N时的相对声路高度ti和权重系数 ωi, 其中 4声路及 9声路的结果见表 1。这种算法称为***佳圆断面 (OWICS)方案 , 实际也是基于正交多项式的 Gauss积分方案[ 10]。

3.3、权重系数与面积平均方案的比较:
  Gauss积分方案有其数值分析上的基础 , 在确定的声路高度条件下 , 不同声路的权重与其所在条带的面积相关, 但并非成正比关系 。针对计算得到的相对声路高度ti, 计算了各声路所在条带的面积 , 分割为中间的梯形与两侧的弓形进行计算 :Si=12(xi+xi+1)Δzi+ΔβiR-sinΔβiR2(10)式中 :Δβi= arcsinti-arcsinti+1 为两侧弓形的圆心角, xi与 xi+1为声路条带的上下两侧的弦长, 该弦正好均分相邻声路之间的面积 , 弦的位置 xi可利用条带面积相等而迭代求解得到。若认为声路速度为所在条带内的平均速度 , 则声路条带的面积 Si可以作为截面平均速度计算时的权重系数 , 为与前面的 Gauss积分方案对比 , 权重系数需进行处理 , ωs, i=Si/ρ(ti)。对比 Gauss积分方案与面积平均方案的的权重系数发现 , 两者有所差别 , 如表 1所示 。 Gauss积分方案并非简单的面积加权求和 , 其权重系数与面积加权平均相比 ,对中间声路偏大而对边缘声路偏小 , 说明 Gauss积分更多的是强调中间声路速度对平均流速的贡献, 这可能也是 Gauss积分方案对复杂声路速度分布的适应性要优于面积平均方案的原因所在。



表 1　流量积分节点位置及求积系数


4、流量积分准确度分析:
4.1、不同声路数时的积分误差：
  超声流量计利用有限声路还原整个截面上的速度分布情况, 显而易见的是声路越多, 流量积分越准确 。根据圆管紊流理论 ,圆形管道中充分发展的流速分布通常可用指数分布来描述 , 指数 n与雷诺数和相对粗糙度有关系 , 下面以 n=9时v=(1 -r)1 /9　　(0 ≤ r≤ 1) (11)为例来分析积分误差E=Q-QiQi× (12)的影响因素 。式中 , Q为不同方案时的数值积分结果,Qi为数学积分的结果 。图 3给出了 3种方案在不同声路数时的积分误差。可以看到 , Gauss-Jaccobi方案的积分误差均大于零, 且随着声路数 N的增加 , 积分误差迅速减小 , 在 N=6之后积分误差已降至 0.05%以下, 且继续增加声路数不再引起很大变化 , 说明对于简单平顺的流动 , 过多的声路数对提高流量计准确度意义不大 。对于面积加权平均方案, 积分误差也随着声路数 N的增加而减小 , 但减小速度甚慢,36声路时仍然保持 0.05%左右的积分误差 。 两者比较可以发现 , Gauss积分方案要比面积平均方案具有更高的准确度。对于***佳圆断面方案, 积分误差在零上下浮动,随着声路数的增加, 浮动范围逐渐减小 。对于声路数N =2 ～ 9 , OWICS方案的积分误差比 Gauss-Jaccobi方案还要略小 , 说明前者确实优于后者 ;但在声路数较大时,OWICS方案的优势已比较微弱。



图 3　圆管紊流条件下的积分误差
  为了进一步探讨 3种积分方案的差异 , 利用扰流流场经典公式：
  u(r, θ)=(1 -r)1 /n+mr(1 -r)1/kf(θ) (13)对积分误差进行进一步分析 。式中 , n、 k、 m、 f(θ)为可调的参数, θ在 [ 0, 2π] 内。图 4给出了 3种方案的积分误差计算结果 , 点值为利用式 (13)描述的一组流场下的积分误差均值 , 而竖线则表示其标准差大小 。其规律与圆管紊流情况类似 , 两种 Gauss积分的效果要比面积加权平均好得多 , 前者积分误差不仅能够随着声路数的增加迅速收敛到零附近 , 而且波动幅度也比同声路数的面积加权平均方案为小 。另外进一步说明, OWICS方案的优势主要体现在声路数较少时 ,若声路数量受到限制 ,以采用 OWICS方案为佳 。


图 4　扰流流场条件下的积分误差
4.2、积分误差的来源：
  Gauss数值积分过程具有 2N-1阶代数精度 , 即若实际声路速度分布可用 2N-1次代数多项式表达 , 则数值过程引入的截断误差为零 。但是由于实际声路速度分布曲线受边界条件等的影响 , 造成其无法由 2N-1次多项式来表达 , 所以流量计算的数值积分过程将引入一定的截断误差 , 其大小与实际声路速度分布曲线有关系, 一般来说待测流场廓形越复杂, 积分误差越大 。仍以式(11)中的指数流速分布为例 , 来说明积分误差的来源。该速度分布在半径为 1的管道中的流量可以通过数学积分得到 Q =2.678 620 。图 5中的声路速度曲线由该指数函数积分得到 , 具有对称的分布特性 , 中间区域较为平坦 , 边缘附近迅速降低为零 , 若按 Gauss-Jac-cobi方案来取 N =5进行采样 , 数值积分的结果为 Q =2.681 950 , 与真值相差 0.12%。图 5中另给出了过该组采样点的代数多项式族 (次数不大于 9, 其中 3条赋予了边界为零的约束 ), 虽然这一组曲线分布较为复杂 , 但其描述的声路速度分布的积分结果 Q=2.681 950 , 与数值积分的结果*相同 , 这也验证了 Gauss积分具有 2N-1阶代数精度的结论 。 事实上一般不会出现实际声路速度曲线正好为代数多项式描述的情况 , 故积分过程总是存在积分误差 。


图 5　声路速度分布示意图

  Gauss-Jaccobi积分法和 OWICS积分法均建立在声路速度分布可由代数多项式来表达的假设基础上, 部分研究者认为声路速度分布根本不适合由代数多项式来表达[ 12], 尤其是对于流场受到扰动的情况 , A.Nichtaw-itz[ 13]认为利用 PCHIP多项式(分段立体赫尔密特插值多项式 )来表达流速分布比较合适, 在修正边壁流场的情况下 , 利用 4声路的 PCHIP积分法与 9声路 Gauss-Jaccobi积分法大致具有相同的积分误差 。另外也有学者[ 14-15]认为流量计现场流动非常复杂 、根本不可预测 , 而采用复杂的声道布置并辅以神经网络进行处理的思路 , 来推进超声流量计数学模型的研究 。


5、结论：
  本文分析了超声流量计的流量积分原理 , 并结合数值分析理论, 推导了超声流量计声路布置方案 (Gauss-Jaccobi方案及 OWICS方案 )的声路高度与权重系数 。通过对比 Gauss积分方法与面积加权平均方法在声路高度相同时的权重系数差别, 发现 Gauss积分方法更加重视中间部分声路对平均流速的贡献 , 这可能是其具有更高准确度的重要原因 。另外还分析了 Gauss积分方案流量积算误差的产生原因 , 并对比了声路数对积分误差的影响 。积分误差来源于实际声路速度无法为代数多项式所表达 ;声路数越多, 积分准确度越高 , 但过多声路数对提高流量计准确度意义也不大 。